Ecrivains, poètes, essayistes, psychologues, ils ont tous chanté les magies de la symétrie. Symétrie inversée dans le miroir, symétrie des fleurs, symétrie des taches d'encre du test de Rohrschach...

Mais tout n'est pas symétrique. Prenez les lettres en capitales de l'alphabet et regardez-les une à une dans un miroir. Seules les lettres dotées d'une symétrie verticale, comme le A, le H ou le M, le O ou le T (cherchez les autres) sont parfaitement lisibles dans le miroir, car leur inversion par réflexion n'a rien changé à leur forme.

« N'a rien changé à leur forme... » C'est la source de la définition de la symétrie par les sciences. Il y a opération de symétrie lorsqu'il y a invariance par transformation.

Prenez un carré découpé dans du papier, percez-le d'une aiguille en son centre, et « transformez-le », c'est-à-dire faites-lui faire un tour complet autour de l'aiguille. A quatre reprises (à chaque quart de tour), vous retrouverez la configuration initiale de votre carré (dans toutes les autres positions, il s'agit d'une autre figure, un losange plus ou moins incliné). On dit donc du carré qu'il est doté d'une symétrie 4. Les plus fines rosaces gothiques de nos cathédrales sont dotées d'une symétrie 16. Par transformation (rotation autour de leur axe), elles sont seize fois invariantes (leur forme coïncide seize fois avec leur position initiale au cours d'une rotation complète).

A quoi ça sert, direz-vous ? Eh bien le calcul du nombre symétrique (le nombre des invariances) affecté à tel ou tel objet (calcul parfois très difficile si vous songez qu'un objet solide est en trois dimensions et que le nombre de ses transformations possibles dans l'espace est gigantesque !), ce nombre symétrique des objets est capital pour concevoir les machines qui les fabriquent ou les logiques qui les utilisent, si l'on veut optimiser leurs performances.

La bonté est dissymétrique !

Avant de basculer dans les sciences, faisons une incursion dans la morale, la justice et la politique, pour mieux fixer les idées. La vertu démocratique est fondée sur le double principe de l'égalité et de l'équité, et il s'agit là de deux formes de symétries. «Tous les hommes sont libres et égaux en droit », est la plus célèbre des symétries démocratiques et se définit comme l'égalité. L'équité, par exemple calculer l'imposition selon les revenus de chacun, est une autre forme, plus complexe, de symétrie. La dissymétrie apparente (chacun ne paie pas la même somme au fisc) correspond à une dissymétrie antérieure (chacun ne touche pas le même salaire), et l'addition de ces deux dissymétries crée une symétrie complexe, celle de l'équité.

Il y a des symétries à dénoncer, des fausses symétries, cheval de bataille des gens de mauvaise foi de tout poil, politiques, financiers ou simples particuliers. Devant toute symétrie annoncée, affirmée, affichée, soyez vigilant, analysez-la avec les outils de la logique. Un exemple ? Souvenez-vous de la bataille entre fumeurs et non-fumeurs avant que ne passe la loi. Quel était le discours qu'on entendait ? « Fumeurs, non-fumeurs, la liberté, c'est réciproque. Non-fumeurs, vous êtes libres de ne pas fumer. Fumeurs, vous êtes libre de fumer. » Sauf que cette belle symétrie, brandie comme un étendard par les fumeurs invétérés, est fausse ! Et elle l'est grâce à un très subtil glissement de sens. Etre non-fumeur et ne pas fumer, c'est la même chose. Mais être fumeur et fumer, ce n'est pas la même chose ! On peut toujours et à chaque instant ne pas fumer. Mais on ne peut pas toujours et à chaque instant fumer ! Absence d'acte et acte ne sont pas symétriques. Pour le comprendre, remplacez donc « fumeur » par « lanceur de javelot ». Si je suis un non-lanceur, je ne lance pas, jamais. Si je suis un lanceur, je lance...mais nul lanceur n'exigerait de lancer toujours et partout ! Vous me voyez lancer un javelot au cours d'un grand cocktail à Sub Yu ? (Il n'y en a pas encore eu, mais j'ai bon espoir...). Donc un fumeur peut fumer, mais pas n'importe quand, n'importe où !

Dois-je pousser mon lecteur dans l'escalier ?

Si l'on devait comparer la politique et la morale, la loi d'un côté, l'injonction éthique de l'autre, alors l'une des différences fondamentales entre les deux terrains, le politique et l'éthique, est que le premier obéit à la symétrie, tandis que le second trouve sa vraie vertu dans la... dissymétrie. Etonnant résultat d'une grande tradition morale et philosophique. La meilleure démonstration qu'on puisse donner de la justice symétrique et de la morale dissymétrique se trouve dans la philosophie morale d'Emmanuel Levinas, l'un des grands philosophes du XXème siècle. Imaginez deux hommes survivants d'une catastrophe qui a rayé l'humanité du globe terrestre. Deux hommes seulement : moi, et vous cher lecteur (Ce pourrait être chère lectrice mais... les choses se compliqueraient). Autour de nous, après la catastrophe, il reste trop peu à manger pour satisfaire deux appétits, cher lecteur.

Que dit la justice en ses lois ? Que ce qui reste à manger doit être également partagé entre nous deux. Même si le partage condamne, à terme, l'un d'entre nous ? Même ! La loi est la loi. Mais que dit la morale ? L'injonction éthique me commande de me sacrifier pour toi, cher lecteur (à ce stade-là, je peux bien te tutoyer !). Levinas dit que l'injonction éthique se résume à la fantastique puissance du visage de l'autre. L'autre en son visage, l'autre en sa valeur éminente, son caractère absolument singulier et unique dont son visage est l'incarnation, me commande avec une force irrépressible de tout faire pour le sauver. Levinas, parlant de la puissance du visage de l'autre, parle même d'effraction ! Au-delà de tout égoïsme, je me dois de sauver l'autre qui est entré dans mon souci du monde par effraction en moi de son visage, je dois le sauver au prix de mon sacrifice. L'injonction morale, en totale dissymétrie, me commande de m'effacer pour que tu vives, cher lecteur. La morale a plus de grandeur que la loi car elle est dissymétrie fondamentale, en regard de la justice, symétrique par essence (Dans la réalité, cher lecteur, il n'est pas dit que je ne te pousserai pas dans l'escalier... Je ne me connais pas assez bien, vois-tu, pour anticiper sur mon comportement dans une telle situation...).

La Bible est riche de ce genre de situation dissymétrique où la morale trouve sens. Que dit l'Evangile ? Si tu te fais cogner dessus, fais-toi cogner plus encore. Dissymétrie totale entre le frappeur et le frappé. Et comment l'Evangile dit-elle cela ? Dans une formule de parfaite symétrie : « si on te frappe sur la joue droite, tends la gauche ». Le Dieu des chrétiens est le plus grand humoriste entre tous les Dieux.

Autre dissymétrie fascinante, celle entre le vrai et le faux. Il est bien plus difficile de prouver la véracité que la fausseté d'une affirmation. Si j'affirme « Toutes les vaches du Perche sont blanches », il me suffira de rencontrer une seule vache de couleur noire pour prouver la fausseté de l'affirmation. Mais pour prouver sa véracité, il va falloir que je me farcisse, pardon, toutes les vaches du Perche jusqu'à la dernière, qui doit être aussi blanche que la première. Cette dissymétrie du vrai et du faux fut la source d'un grand progrès de la logique, à la recherche de symétries cachées.

Car nous atteignons là au royaume le plus secret du couple symétrie/dissymétrie. Dans les sciences, toute dissymétrie incite le chercheur à se demander si elle ne cache pas une symétrie plus profonde. Les exemples sont tous plus impressionnants les uns que les autres, et ce sujet constituera une merveilleuse (mais si !) prochaine chronique de Big Bang, car l'heure avance, cher lecteur, et ta patience diminue comme l'inverse de l'accélération de la pesanteur. Mais je ne résiste pas au plaisir de te raconter comment une opération de symétrie a été à l'origine de la découverte de « la suite de Gauss ». Après tout c'est la saison des contes de Noël, et celui-ci en vaut un autre, d'autant qu'il colle quasiment à la réalité.

Un conte de Noël

Un collège d'une ville allemande, Brunswick, dans les années 1780. Un 24 décembre tiens, pourquoi pas, hein ? Une classe, peut-être une CM2 de l'époque. Des enfants turbulents et parmi eux, le petit Carl-Friedrich Gauss (qui ne sait pas encore qu'il deviendra l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps). Excédé par le bruit, le maître tonne : « Prenez une feuille de papier et additionnez-moi tous les nombres de un à cent. »

Deux minutes passent, la cloche de récréation retentit, la marmaille s'égaille... sauf le petit Gauss. « Vas-tu filer ! » « Mais monsieur... le résultat... » « Comment ça le résultat ? » « Je l'ai trouvé monsieur, je vous le donne ? » « Tu te fiches de moi ? » « C'est 5050, monsieur. »

Le maître pâlit. « Viens donc me voir. » Il prend un ton très doux : « Explique-moi. Comment as-tu fait ? »

Le petit Carl-Friedrich : « Eh bien monsieur, j'ai commencé à additionner : 1 plus 2 donne 3, plus 3 donne 6, plus 4 donne 10... Je savais bien que je n'aurais pas le temps d'aller jusqu'au bout, la cloche allait sonner... Alors j'ai commencé par l'autre bout : 100 plus 99 donne 199, plus 98 donne... J'ai bien vu que ça allait encore moins vite qu'en prenant au début, mais je me suis dit du coup que le bout par lequel on prenait le problème n'avait pas d'incidence sur le résultat. Alors j'ai pris la série des nombres de 1 à 100 par les deux bouts, en symétrie : 1 plus 100 donne 101 ; 2 plus 99 donne 101 ; 3 plus 98 donne... 101. Cent nombres à additionner deux par deux, ça fait cinquante additions dont le résultat est le même à chaque fois : 101. La bonne réponse au problème est donc cinquante fois 101, égale : 5050.

Ce que c'est tout de même qu'un cerveau bien fichu ! Ce que c'est que la puissance de la symétrie ! Le lecteur qui, à la lecture de cette démonstration d'intelligence, n'éprouverait pas le même genre de frisson que devant un tableau de maître, ce lecteur-là... a toute ma compassion.